INECUACIONES DE 1º y 2º GRADO

INECUACIONES DE 1º GRADO

Las inecuaciones de primer grado, o inecuaciones lineales, son desigualdades algebraicas en las que la incógnita está elevada a la 1. La solución de una inecuación de primer grado es un intervalo de números, a diferencia de las ecuaciones de primer grado que es un único número.

Ejemplo:

5x+1< 6x+5(x+2)-3

5x+1<6x+5x+10-3

Transponemos los términos con x al lado izquierdo de la inecuación y los términos sin x al otro lado. Igual que con las ecuaciones, cuando un término cambia de lado también cambia de signo

5x-6x-5x<10-3-1

6x<6

Y ahora despejamos la incógnita x Cuando se cambia de lado un número negativo que está multiplicando o dividiendo, también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

x>6/-6

x>-1

Una vez hemos calculado el resultado numérico de la inecuación, debemos representarlo en la recta real. Para ello, primero representamos el -1 en la recta:

Ahora cogemos cualquier otro punto, por ejemplo x=0, y comprobamos si cumple la inecuación del ejercicio

5*0+1< 6*0+5(0+2)-3

0+1<0+0+10-3

1<7

x=0 sí que cumple la inecuación. Entonces, como el 0 está a la derecha del -1, quiere decir que todos los números a la derecha del -1 también serán solución de la inecuación

Finalmente, tenemos que representar el resultado de la inecuación en forma de intervalo. 

xE (-1,+∞)

INECUACIONES DE 2º GRADO

Una inecuación de segundo grado es cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de grado menor o igual que 2.

Ejemplo: 

x² - 6x + 8 > 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, factorizamos y obtenemos

las raíces de la ecuación de segundo grado.

x² - 6x + 8 > 0 = 0

(x-2)(x+4) = 0

Igualando los factores a cero, se obtienen las raíces 

x = 2 y x = 4

Las raíces dividen la recta real en tres intervalos: (-∞, 2), (2, 4), (4, +∞)

Tomamos un representante de cada intervalo y lo sustituimos en la inecuación

(-∞, 2) -> 1²-6*1+8>0 = 3>0

(2, 4) -> 3²-6*1+8>0 =-1<0

(4, +∞)->  5²-6*1+8>0 =3>0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

 

Así, la solución es S = (-∞, 2) U  (4,+∞)