Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas
Las ecuaciones pueden tener más de una o dos variables, las ecuaciones con una variable se grafican en una recta. Las ecuaciones con dos variables se grafican en un plano. Las ecuaciones con tres variables se grafican en un espacio tridimensional.
Al igual que cuando resuelves sistemas de dos ecuaciones, hay tres posibles resultados para la solución de un sistema de tres variables.
CASO 1
Existe una solución. Para que tres ecuaciones con tres variables tengan una solución, los planos deben intersecarse en un sólo punto.
Ejemplo:
3x+4y–z=8
5x–2y+z=4
2x–2y+z=1
Para el primer paso, usa el método de eliminación para quitar una de las variables. En este caso, z puede ser eliminada sumando la primera ecuación con la segunda.
3x+4y–z=8
5x–2y+z=4
-----------------
8x+2y=12
Para resolver el sistema, necesitas dos ecuaciones usando dos variables. Sumando la primera ecuación con la tercera en el sistema original también te dará una ecuación con x y y pero no con z.
3x+4y–z=8
2x–2y+z=1
----------------
5x+2y=9
Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos variables, resuelve el sistema de nuevo usando eliminación
8x+2y=12 x1
5x+2y=9 x-1
8x+2y=12
-5x+-2y=-9
----------------
3x=3
x=1
Ahora usa una de las ecuaciones en el sistema de dos variables para encontrar y.
5*1+2y=9
5+2y=9
2y=4
y=4/2
y=2
Finalmente, usa cualquier ecuación del primer sistema para encontrar la ultima variable
2*1–2*2+z=1
2-4+z=1
z=1+2
z=3
Verificamos si todas las respuestas son correctas
3*1+4*2–3=8 5*1–2*2+3=4 2*1–2*2+3=1
3+8-3=8 5-4+3=4 2-4+3=1
8=8 4=4 1=1
CASO 2
No hay solución. Los tres planos no tienen ningún punto en común. (Observamos que dos ecuaciones podrían tener puntos en común una con la otra, pero no con las tres.)
4x – 4y – 8z = 2 x1
−x + y + 2z = −3 x4
4x – 4y – 8z = 2
−4x + 4y + 8z = −12
-------------------------
0+0+0=12
En este caso, el resultado es un enunciado inválido. Esto significa que no hay soluciones para las dos ecuaciones y por lo tanto no puede haber soluciones para el sistema de tres ecuaciones.
CASO 3
Existe un número infinito de soluciones. Esto ocurre cuando los tres planos se intersecan en una recta. Y también puede ocurrir cuando los tres planos están en el mismo plano
Ejemplo:
x – 2y + z = 3
−3x + 6y – 3z = −9
4x – 8y + 4z = 12
Empezamos con las primeras 2 ecuaciones
x – 2y + z = 3 x3
−3x + 6y – 3z = −9 x1
3x-6y+3z = 9
−3x + 6y – 3z = -9
----------------------
0+0+0=0
La ecuación final es un enunciado válido: 0 = 0.
Cuando esto sucede, es porque las dos ecuaciones son equivalentes. Estas dos ecuaciones se graficarían en el mismo lugar. Pero para que la solución de un sistema de tres ecuaciones sea infinita, se necesita continuar con la tercera ecuación.
x – 2y + z = 3 x-4
4x – 8y + 4z = 12 x1
-4x+8y-4z=-12
4x – 8y + 4z = 12
---------------------
0+0+0 = 0
Una vez más, la ecuación final es el enunciado válido 0 = 0. Por lo que la tercera ecuación está en el mismo plano que las primeras dos. Ahora podemos confirmar que hay un número infinito de soluciones
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