CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma).

Caso I - Factor Común

Este es el caso de factorización que consiste en buscar un factor común y dividir todo por ese factor

a²+ab= a(a+b)

3a³+6a²-15a+30a = 3a(a²+2a-5+10)

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común

ax+ay+4x+4y

vemos que los dos primeros tienen como factor común "a", mientras que los dos últimos tienen como factor común el "4", los agrupamos con paréntesis

(ax+ay)+(4x+4y)

factorizamos

a(x+y)+4(x+y)

factorizamos toda la expresión anterior por factor común

(x+y)(a+4)

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Si se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo.

(a²+2ab+b²)=(a+b)²

(a²-2ab+b²)=(a-b)²

(49a²+4ab+36b²)=(7a+6b)²

(4x²-20xy+25y²)=(2x-5y)²

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado, unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b),(a+b), uno negativo y otro positivo)

ay²-bx²=(ay+bx)(ay-bx)

25y²-4x²=(5y+2x)(5y-2x)

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante una suma para que sea el doble producto de las dos raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

x²+xy+y²

x²+xy+y²+(xy-xy)

x²+2xy+y²-xy

(x+y)²-xy

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c o trinomio simple perfecto

Se identifica por tener tres términos, hay un literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del segundo.

a²+5a+6

(a+?)(a+?)

(a+3)(a+2)

Caso VII - Trinomio de las formas ax2 + bx + c o trinomio compuesto

En este caso se tienen 3 términos: el primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente

4x²+12x+9

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término

4x²*4+12x*4+9*4

4²x²+12x*4+36

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

6 x 6 = 36

6 + 6 = 12

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente

(4x+6)(4x+6)

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

(4x+6)(4x+6)/4 = (4x+6)/2 * (4x+6)/2

Quedando asi la factorizacion

(2x+3)(2x+3)

(2x+3)²

Caso VIII - cubo perfecto de binomios

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

xⁿ + yⁿ = (x+y)(xⁿ⁻¹-xⁿ⁻²y+xⁿ⁻³y²...-xyⁿ⁻²+yⁿ⁻¹)

x³+1= (x+1)(x²-x+1)

x⁴-y⁴ = (x-y)(x³+x²y+xy²+y³)

 Caso IX - Suma o diferencia de cubos perfectos

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces cúbicas de ambos términos (a + b)

El cuadrado del primer término, [ a² ]

[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] El cuadrado del segundo término; [ b² ]

Ejemplos:

x⁶ + y⁶

Se reescribe la ecuación, de tal manera que se pueda factorizar utilizando la suma de cubos.

(x³)² + (y³)²

De esta manera se podra realizar utilizando la suma de cubos, estableciendo ahora que a = x2 y b = y2

(x²+ y²) ((x²)² - x²y² + ((y²)²)

(x² + y²) (x⁴ - x²y² + y⁴)

Diferencia de cubos

a³- b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces cubicas de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2º término; [ b² ]